Elternzeit wird von der Elterngeldstelle bezahlt, nicht von der Krankenkasse. Die Höhe des Elterngeldes richtet sich nach dem Einkommen der letzten 12 Monate von der Person, die in Elternzeit geht - mindestens 300,00€ Sockelbetrag.
Wer eine Arbeitstätigkeit (sozialversicherungspflichtig) aufnimmt, wird pflichtversichert. Familienversicherung ist erst dann möglich, wenn verheiratet. Vorher ist jeder für sich selbst pflicht (oder freiwillig) versichert.
Voraussetzungen finden Sie hier:
https://www.aok.de/inhalt/familienversicherung/
Gilt nicht nur für die AOK, sondern auch für andere Kassen.